Похоже на проблемы у местного провайдера. Для чистоты эксперимента (провайдер, скорее всего тоже это предложит сделать, чтобы исключить проблемы с вашим домашним роутером) – провод от провайдера воткнуть напрямую в компьютер, минуя роутер и проверить доступность.
Не выйдет. ADSL соединение кажется. Через телефонный кабель. В Ethernet разъем не подключить.
Кстати, а проблемные сайты пингуются?